Modélisation du gyropode

Cet article présente quelques calculs que j’avais réalisés pour mieux comprendre le fonctionnement du gyropode, plus communément désigné par la marque Segway.

Ce travail traînait sur des feuilles volantes, il serait dommage de le perdre ! 🙂

Comment le gyropode s’utilise-t-il ?

Le gyropode est un véhicule électrique monoplace à deux roues et auto-stabilisé.

Lorsque le conducteur penche le guidon vers l’avant, le véhicule accélère et lorsqu’il le penche vers l’arrière, le véhicule freine. Un gyroscope mesure l’angle d’inclinaison utilisé pour la commande des moteurs.

D’ailleurs, un gyropode dispose de deux autres gyroscopes pour tourner, contrôler la trajectoire et assurer l’équilibre de l’appareil mais, pour notre cas d’étude, on s’intéressera uniquement à la loi de commande permettant d’accélérer et de freiner.

Il existe des gyropodes sans guidon et même avec une seule roue : les gyroskates ou les gyroroues. Il fonctionne sur le même principe mais le pilotage est moins évident. 😀

Hypothèses du problème

Voici les hypothèses utilisées :

le conducteur, le guidon, le châssis et les stators des moteurs sont solidaires, ont une masse $m$ et un centre de gravité $G$ ;
les deux moteurs électriques exercent le même couple sur leur rotor ce qui revient à considérer un seul moteur avec un couple $\overrightarrow{C_m}=C_m\overrightarrow{x}$ ;
les rotors sont solidaires des roues et exercent une force de traction horizontale $\overrightarrow{T}$ , une force de réaction verticale $\overrightarrow{R}$ et un couple $\overrightarrow{C}=-\overrightarrow{C_m}$ sur le châssis ;
$C_m = r\,T = J\,\dot{\omega}$ avec $r$ le rayon des roues, $J$ leur moment d’inertie et $\omega$ leur vitesse de rotation ;
$\theta$ représente l’angle d’inclinaison et $\overrightarrow{g}$ l’accélération de pesanteur ;
$\left \| \overrightarrow{MG} \right \| = l$ ;
$M(x;y;z)$ et $G(x_G;y_G;z_G)$ .

NB : Pour une grandeur physique $x$ , on appelle $\dot{x}$ la dérivée première et $\ddot{x}$ la dérivée seconde.

Principe fondamental de la dynamique

A partir de ces hypothèses, on peut appliquer le principe fondamentale de la dynamique au châssis.

D’une part, pour l’accélération $\overrightarrow{a_G}$ au point $G$ :

$m\,\overrightarrow{a_G} = m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{T} \quad (1)$

D’autre part, pour le moment dynamique $\overrightarrow{\delta_M}$ au point $M$ :

$\overrightarrow{\delta_M} = \overrightarrow{MG}\wedge(m\overrightarrow{g})+\overrightarrow{C} \quad (2)$

Equations liées à l’accélération

Lorsqu’on projette l’équation liée à l’accélération sur les axes y et z, on obtient :

$(1) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\,\ddot{z_G} = T \\\\ m\,\ddot{y_G} = - m\,g + R \end{matrix}\right.$

Par ailleurs, on a cette relation entre les coordonnées de $G$ et $M$ :

$\left\{\begin{matrix} z_G = l \sin \theta + z \\\\ y_G = l \cos \theta + y \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dot{z_G} = l \dot{\theta} \cos \theta + \dot{z} \\\\ \dot{y_G} = - l \dot{\theta} \sin \theta \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ddot{z_G} = - l \dot{\theta}^{2} \sin \theta + l \ddot{\theta} \cos \theta + \ddot{z} \\\\ \ddot{y_G} = - l \dot{\theta}^{2} \cos \theta - l \ddot{\theta} \sin \theta \end{matrix}\right.$

NB : On suppose que la route est plate. Il n’y a pas de mouvement vertical d’où $\dot{y}=0$ .

Ainsi, on obtient les équations suivantes :

$\left\{\begin{matrix} m\,\ddot{z} - m\,l\,\dot{\theta}^{2} \sin \theta + m\,l\,\ddot{\theta} \cos \theta = T \quad (3) \\\\ m\,l\,\dot{\theta}^{2} \cos \theta + m\,l\,\ddot{\theta} \sin \theta = m\,g - R \quad (4) \end{matrix}\right.$

Equation liée au moment dynamique

Au point $M$ , le moment dynamique s’exprime en fonction de la dérivée du moment cinétique $\overrightarrow{\sigma_M}$ en $M$ et des vecteurs vitesse en $M$ et $G$ :

$\overrightarrow{\delta_M} = \frac{d\,\overrightarrow{\sigma_M}}{d\,t} + m\,\overrightarrow{v_M}\wedge\overrightarrow{v_G}$

Quant au moment cinétique en $M$ , il s’exprime en fonction du moment cinétique $\overrightarrow{\sigma_G}$ et du vecteur vitesse $\overrightarrow{v_G}$ au centre de gravité $G$ :

$\overrightarrow{\sigma_M} = \overrightarrow{\sigma_G} + \overrightarrow{MG} \wedge (m\,\overrightarrow{v_G})$

Au centre de gravité $G$ , le moment cinétique $\overrightarrow{\sigma_G}$ s’exprime :

$\overrightarrow{\sigma_G} = I\,\dot{\theta}\, \overrightarrow{x}$ avec $I$ le moment d’inertie de l’ensemble châssis/guidon/conducteur.

On en déduit :

$\overrightarrow{\sigma_M} = [(I+m\,l^{2})\dot{\theta}+m\,l\,\dot{z} \cos \theta]\overrightarrow{x}$
$\Rightarrow \frac{d\overrightarrow{\sigma_M}}{dt} = [(I+m\,l^{2})\ddot{\theta}+m\,l\,\ddot{z}\cos\theta-m\,l\,\dot{z}\,\dot{\theta}\sin\theta]\overrightarrow{x}$
$\Rightarrow \overrightarrow{\delta_M} = [(I+m\,l^{2})\ddot{\theta}+m\,l\,\ddot{z}\cos\theta]\overrightarrow{x}$

car $\overrightarrow{v_M} \wedge \overrightarrow{v_G} = -\dot{z}\dot{y_G}\overrightarrow{x} = l\,\dot{z}\,\dot{\theta}\sin\theta\overrightarrow{x}$

Bon allez ! C’est presque fini ! On projette l’équation (2) sur l’axe x :

$(I+m\,l^{2})\ddot{\theta}+m\,l\,\ddot{z}\cos\theta = m\,g\,l\,\sin\theta - C_m \quad (5)$

Relation entre l’accélération et l’inclinaison

Le système peut être résolu avec les équation (3) et (5) :

$\left\{\begin{matrix} m\,\ddot{z} - m\,l\,\dot{\theta}^{2} \sin \theta + m\,l\,\ddot{\theta} \cos \theta = T \quad (3) \\\\ (I+m\,l^{2})\ddot{\theta}+m\,l\,\ddot{z}\cos\theta = m\,g\,l\,\sin\theta - C_m \quad (5) \end{matrix}\right.$

Comme $C_m = r\,T$ , on obtient la relation suivante :

$\ddot{z} = \frac{m\,l\,(g + r\,\dot{\theta}^{2})\sin\theta-[I+m\,l\,(l+r\cos\theta)]\ddot{\theta}}{m\,(l\,\cos\theta+r)}$

Bon ça reste quand même assez indigeste mais on va simplifier cette expression ! Supposons que le conducteur maintienne un angle d’inclinaison, on a alors $\dot{\theta}=0$ et $\ddot{\theta}=0$ .

$\ddot{z} = \frac{l\,g\sin\theta}{(l\,\cos\theta+r)}$

Ça va mieux mais on peut encore simplifier et retrouver le fonctionnement expliqué plus haut. Supposons que l’angle d’inclinaison soit suffisamment petit, on peut alors introduire des développements limités au premier ordre $\cos\theta\simeq 1$ et $\sin\theta\simeq\theta$ .

$\ddot{z} \simeq \frac{l\,g}{l+r}\,\theta$

Interprétation

Avec cette relation simplifiée, on retrouve bien le principe de fonctionnement évoqué au début de l’article :

si le conducteur penche le guidon vers l’avant $\dot{\theta}\textgreater 0$ , le gyropode accélère $\ddot{z}\textgreater 0$ ;
si le conducteur penche le guidon vers l’arrière $\dot{\theta}\textless 0$ , le gyropode décélère $\ddot{z}\textless 0$ .

De plus, il apparaît que le rayon des roues est un paramètre important dans le dimensionnement et la sécurité du gyropode. Pour une inclinaison donnée, plus les roues seront grandes, moins l’accélération nécessaire pour stabiliser l’appareil sera brutale. C’est l’effet inverse pour la hauteur du centre de gravité et donc la taille du conducteur !

Pour conclure

Malgré la simplicité apparente du problème, on obtient des équations relativement complexes. Les gyropodes sont équipés d’un calculateur qui commande les moteurs à partir de l’angle d’inclinaison mesuré par un gyroscope.

Par ailleurs, les gyropodes tournent en appliquant une vitesse différente sur chacune des roues lorsque le conducteur se penche latéralement. Deux autre gyroscopes équipent le gyropode et permettent au calculateur d’ajuster la vitesse de chacun des moteurs et de garantir l’équilibre et la trajectoire de l’appareil.

Le calculateur doit donc gérer une physique plus complexe que celle présentée dans cet article. Il doit être suffisamment puissant pour ajuster la vitesse des moteurs en temps réel et garantir la sécurité du conducteur.

Pour écrire cet article, je me suis pas mal appuyé sur ce cours de mécanique des solides récupéré sur ce lien du lycée Chaptal à Paris.

Si vous avez des questions ou des remarques, n’hésitez pas à laisser un commentaire.